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随手解一道数学题 #F2910
一）失眠
俗话说，失眠和闹钟，是黑眼圈的二大敌人。
脑子里线程太多，我也饱受“失眠”的痛苦。
今天临睡觉前，朋友圈里看到一道数学题目。失眠时翻来覆去，于是决定用“心算”把它解出来。
题目很简单，感觉就小学五年级奥数的水平。亲，你们能算出么。
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已知正整数n的立方的末四位数是3333，
则n的最小可能值是多少。
二）数学题
题目非常简单。
很多硕士，博士，可能会以为，这会要用“数论”等高级数学技巧来解答。
但奥数是有套路的。
大城市，经过奥数培训的学生，非常容易得一等奖，二等奖
和赤手空拳的小镇做题家，完全不在一个竞争平面上。
奥数一共就二十几种套路。学会了套路，玄门弟子，一年抵铁砂派十年功力。
例如这题，懂行的青年，立刻可以从“猜尾数”套路去想。
123456789，哪一个数字的三次方，尾数是31*1*1 | 1 | 2*2*2 | 8 | 3*3*3 | 27 | 4*4*4 | 64 | 5*5*5 | 125 | 6*6*6 | 216 | 7*7*7 | 343 | 8*8*8 | 512 | 9*9*9 | 729 | 0*0*0 | 0 |
很显然，答案是7。
也就是X^3=3333，则X的尾数，必然是7.
知道了最后一位，我们可以接着求倒数第二位。是17呢，还是27.
如果用计算器的话，马上就有下表：07 | 343 | 17 | 4913 | 27 | 19683 | 37 | 50653 | 47 | 103823 | 57 | 185193 | 67 | 300763 | 77 | 456533 | 87 | 658503 | 97 | 912673 |
显然，末二位是33的解，对应的是77.
我们要找的数字，一定是177,277,377………之类的。
但是，我们现在不能用计算器。本关默认的难度，是“躺在床上”，失眠+纯心算。
因此我们需要更扎实的数学功底。
几乎每一个中国学生，都背过三次方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
如果我们只需要求“十”位数，
百分位以上，全部舍弃。
这个算式，就非常简单。
例如，我们假设倒数第二位是x，n=10x+7
n³=1000x³+300x²*7+30x*49+7³
其中，第一，第二项，都比百分位大，因此可以直接舍弃。
n³的十位数=30x*49+7³的十位数
进一步，我们观察49,49=40+9.
40*30x，就大于100了。因此这里的40，也可以全部舍弃。
n³=30x*9+7³
继续，30x*9=270x，其中的200又可以舍弃。
n³=70x+7³
二边各除以10，n³=7x+4
| 7x+4 | 1 | 11 | 2 | 18 | 3 | 25 | 4 | 32 | 5 | 39 | 6 | 46 | 7 | 53 | 8 | 60 | 9 | 67 | 0 | 4 |
从7x+4这个，简化得多的算符中，我们很快可以得出，第二位数字，也是7。
尾号是77.
现在我们来求倒数第三位数字。
| x³ | 077 | 456533 | 177 | 5545233 | 277 | 21253933 | 377 | 53582633 | 477 | 108531333 | 577 | 192100033 | 677 | 310288733 | 777 | 469097433 | 877 | 674526133 | 977 | 932574833 |
如果手边有计算器的话，电脑立刻可以算出，立方后333的，对应是477.
但是今天，限定条件为“心算”。
还是一样，拆成（a+b）³
假设n=100x+77
n³=1000000x³+30000x²*77+300x*77²+77³
前二项都可以舍弃，只需要保留300x*77²+77³
此时，77=70+7，大于10的都可以舍弃，因此77²=7²=49=9
n=2700x+77³=700x+456533
都去除二个零，n=7x+5
| 7x+5 | 1 | 12 | 2 | 19 | 3 | 26 | 4 | 33 | 5 | 40 | 6 | 47 | 7 | 54 | 8 | 61 | 9 | 68 | 0 | 5 |
答案：倒数第三位是4，合计477尾号。
现在我们来求，倒数第四位。首先看计算器：
| x³ | 477 | 108531333 | 1477 | 3222118333 | 2477 | 15197705333 | 3477 | 42035292333 | 4477 | 89734879333 | 5477 | 164296466333 | 6477 | 271720053333 | 7477 | 418005640333 | 8477 | 609153227333 | 9477 | 851162814333 |
如果用计算器，可以看到，答案应该是6477，立方后尾四位3333.
但现在是“心算”，略麻烦点。
算法还是一样的。假设n=1000x+477
立方后，前二项舍弃。剩下3000x*477²+477³
477平方，舍弃所有大于10的部分，答案固定为9
3000x=27000x=7000x
答案还是恢复到：7x+y的样式。
477=108531333，心算的话，要导出它的“千分位”是1，公式最终为7x+1，这个就有一点麻烦。
上亿的乘法，还是很烦的。恨不得喝杯咖啡提提神。
我们再用一下取巧的办法。477=500-23.
我们看一下，（a-b）³的千分位，能不能快捷一点。
477³=a³-3a²b+3ab²-b³
前二项舍弃，剩下3*500*23²-23³
=1500*529-12167
万分位舍弃，=13500-12167
结论是1333，因此公式是7x+1
| 7x+1 | 1 | 8 | 2 | 15 | 3 | 22 | 4 | 29 | 5 | 36 | 6 | 43 | 7 | 50 | 8 | 57 | 9 | 64 | 0 | 1 |
综上所述，立方后末四位3333，对应的尾数，是6477。
符合条件的“最小一个数字”，就是6477³
第二个解是16477³
第三个解是26477³
………
6477³= 271720053333
2717亿，好大一个天文数字。
三）推论
在这道题中，我们敏锐地发现，其核心公式是：7x+y
y是常数，或者77³，或者477³，它是不变的
因为7是一个畸零数字，7x可以遍历1~9，
也就是说，如果出题老师，不是用3333来考试，而是用3343，或者5873。
这一类的“起始数据”，也都是有解的。
而什么时候，不适用7这个“畸零”数字呢。
3ab²=3*49=27=7，关键看3b²
我们列一下，1~9的遍历。
| b² | 3b² | b³ | 1 | 1 | 3 | | 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 7 | | 4 | 16 | 8 |
| 5 | 25 | 5 |
| 6 | 36 | 8 |
| 7 | 49 | 7 | | 8 | 64 | 2 |
| 9 | 81 | 3 | | 0 | 0 | 0 |
|
如表，只有1,3,7,9的3b²，对应的才是“畸零”数。
7x的尾号，可以把1~9全部都经历一遍。
8x就不行。
诸如0010,0014这样的题目，它是没有解的。
出题老师，出一道题，3333.
只要“最后一位”，是1,3,7,9四选一，这题就有解。无论前面多少位，都是有解。
否则，就是无解的。
这一大类的题目，全部解开。
四）结语
非常简单的小学数字，心算难度，失眠治疗。您学会了么。
（yevon_ou@163.com，2020年8月9日晚）
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发表于 2020-8-26 09:16:42